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Représenter cette série statistique par le graphique le plus adapté : (Remplacer par un vrai graphique)
Pour représenter cette série statistique, un histogramme est le plus adapté. Voici l'histogramme :
Nombre de pièces : 1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre de logements : 14 25 31 29 13 9 5 4
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Calculer, en détaillant, le nombre moyen de pièces par logement :
$\text{Nombre moyen de pièces} = \frac{\sum (\text{nombre de pièces} \times \text{nombre de logements})}{\sum \text{nombre de logements}}$
$= \frac{(1 \times 14) + (2 \times 25) + (3 \times 31) + (4 \times 29) + (5 \times 13) + (6 \times 9) + (7 \times 5) + (8 \times 4)}{14 + 25 + 31 + 29 + 13 + 9 + 5 + 4}$
$= \frac{14 + 50 + 93 + 116 + 65 + 54 + 35 + 32}{130}$
$= \frac{459}{130} \approx 3,53$
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Quelle est la fréquence de logements de 3 pièces ?
$\text{Fréquence} = \frac{\text{nombre de logements de 3 pièces}}{\text{nombre total de logements}} = \frac{31}{130} \approx 0,238$
Donc, la fréquence est de 23,8 %.
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Déterminer, en justifiant, la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de cette série statistique :
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Médiane : La médiane est la valeur qui sépare la série en deux parties égales. Ici, nous avons 130 logements, donc la médiane est la 65ème valeur.
En cumulant les effectifs :
- 1 pièce : 14
- 2 pièces : 14 + 25 = 39
- 3 pièces : 39 + 31 = 70
La médiane est donc 3 pièces.
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Premier quartile (Q1) : Le premier quartile est la 32,5ème valeur (25% de 130).
En cumulant les effectifs :
- 1 pièce : 14
- 2 pièces : 14 + 25 = 39
Le premier quartile est donc 2 pièces.
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Troisième quartile (Q3) : Le troisième quartile est la 97,5ème valeur (75% de 130).
En cumulant les effectifs :
- 1 pièce : 14
- 2 pièces : 14 + 25 = 39
- 3 pièces : 39 + 31 = 70
- 4 pièces : 70 + 29 = 99
Le troisième quartile est donc 4 pièces.
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Représenter cette série statistique par un diagramme en boîte : (Remplacer par un vrai diagramme)
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Représenter en bleu le nuage de points associé à cette série statistique $(x_i ; y_i)$ sur le graphique ci-dessous : (Remplacer par un vrai graphique)
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Déterminer, en détaillant le calcul, les coordonnées du point moyen puis placer ce point moyen en rouge sur le graphique :
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{0 + 1 + 2 + 3}{4} = 1,5$
$\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{26 + 55 + 101 + 150}{4} = 83$
Les coordonnées du point moyen sont $(1,5 ; 83)$.
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Pour réaliser des prévisions pour les années 2019, 2020 et 2021, on utilise un ajustement affine par la méthode des moindres carrés :
(a) Justifier la pertinence d’un ajustement affine :
Un ajustement affine est pertinent si les points semblent alignés de manière approximative le long d'une droite.
(b) Donner, sans justifier, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ , les coefficients étant arrondis au dixième. Tracer cette droite en vert sur le graphique :
$y = 41,5x + 26,5$
(c) Calculer avec cet ajustement les prévisions du nombre d’abonnés à ce service en ligne pour les années 2019, 2020 et 2021 :
$\text{Pour 2019 (x=4)} : y = 41,5 \times 4 + 26,5 = 192,5$
$\text{Pour 2020 (x=5)} : y = 41,5 \times 5 + 26,5 = 234$
$\text{Pour 2021 (x=6)} : y = 41,5 \times 6 + 26,5 = 275,5$
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Placer les deux nouveaux points en noir sur le graphique : (Remplacer par un vrai graphique)
(b) Calculer, arrondies au centième, les valeurs $z_i = \ln(y_i)$ pour $i$ entier variant de 0 à 5, et les présenter dans un tableau :
| $i$ |
$ln(y_i)$ |
| $0$ |
$\ln(26) \approx 3,26$ |
| $1$ |
$\ln(55) \approx 4,01$ |
| $2$ |
$\ln(101) \approx 4,62$ |
| $3$ |
$\ln(150) \approx 5,01$ |
| $4$ |
$\ln(248) \approx 5,52$ |
| $5$ |
$\ln(407) \approx 6,01$ |
(c) Donner sans justifier une équation de la droite d’ajustement affine de \(z\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis au centième :
$z = 0,55x + 3,26$
(d) En déduire, en justifiant, l’ajustement de la forme \(y = Ae^{Bx}\), où la valeur de \(A\) est à arrondir à l’unité et la valeur de \(B\) est à arrondir au centième :
$A = e^{3,26} \approx 26$
$B = 0,55$
Donc, l'ajustement est $y = 26e^{0,55x}$.
(e) Calculer avec cet ajustement la nouvelle prévision du nombre d’abonnés à ce service en ligne pour l’année 2021 :
$y(2021) = 26e^{0,55 \times 6} \approx 26e^{3,3} \approx 26 \times 27,11 \approx 705$