La fonction zero

La fonction zero est une implémentation de la méthode de dichotomie (ou bissection) pour trouver une approximation d'un zéro d'une fonction continue, c'est-à-dire une valeur \(x\) pour laquelle \(f(x) = 0\), dans un intervalle donné \([xmin, xmax]\).

Comment ça marche ?

1. Initialisation: La fonction commence par définir une variable c pour compter le nombre d'itérations (bien que cette variable ne soit pas utilisée autrement dans le code fourni) et une variable m qui servira à stocker le milieu de l'intervalle courant.
2. Boucle principale: La fonction entre ensuite dans une boucle while qui continue tant que la longueur de l'intervalle \([xmin, xmax]\) est supérieure à un seuil très petit (dans ce cas, \(0.000000000000001\)), assurant ainsi une précision élevée pour la valeur de zéro trouvée.
3. Calcul du milieu et vérification: À chaque itération, elle calcule le point milieu m de l'intervalle courant et vérifie le signe du produit \(f(m) \times f(xmin)\).
   • Si le produit est positif, cela signifie que f(m) et f(xmin) sont du même signe, donc le zéro de la fonction doit se situer dans l'intervalle \([m, xmax]\), et la fonction met à jour xmin à m.
   • Si le produit est négatif, cela signifie que le zéro se trouve dans l'intervalle \([xmin, m]\), et la fonction met à jour xmax à m.
   • Si le produit est zéro, cela signifie que f(m) est un zéro de la fonction, et la fonction retourne immédiatement cette valeur.
4. Fin de la boucle: Une fois que l'intervalle est suffisamment petit, la fonction sort de la boucle et retourne la valeur de m, qui est une approximation du zéro de la fonction.

Comment l'utiliser ?

Pour utiliser cette fonction, vous avez besoin d'une autre fonction f(x) dont vous souhaitez trouver un zéro. Par exemple, si vous voulez trouver un zéro de la fonction \(f(x) = x^2 - 4\), vous pouvez définir cette fonction en Python :

def f(x):
    return x**2 - 4

Ensuite, vous appelez la fonction zero avec f, ainsi qu'avec les valeurs xmin et xmax entre lesquelles vous pensez qu'il existe un zéro :

zero_de_f = zero(f, 0, 3)
print(zero_de_f)

Dans cet exemple, étant donné que \(x^2 - 4\) a des zéros à \(x = -2\) et \(x = 2\), et que nous avons choisi l'intervalle \([0, 3]\), la fonction devrait approximer et retourner le zéro proche de \(2\).

def derivee(f,x):
    h = 0.00000001
    return (f(x+h)-f(x))/h

def extre(f,xmin,xmax):
    def df(x):
        return derivee(f,x)
    abs = zero(df,xmin,xmax)
    ord = f(abs)
    return abs, ord

Ces deux fonctions, derivee et extre, sont utilisées pour effectuer des calculs en analyse numérique, notamment pour estimer la dérivée d'une fonction en un point et pour trouver les points où une fonction atteint ses extrêmes (minimum ou maximum) dans un intervalle donné.

Fonction derivee

La fonction derivee calcule une approximation de la dérivée d'une fonction f en un point x donné, en utilisant la définition de la dérivée comme limite. Elle utilise une méthode d'approximation numérique connue sous le nom de différence finie.

• Paramètres:
  • f: la fonction dont on veut calculer la dérivée.
  • x: le point où on veut calculer la dérivée.
• Processus:
  • La fonction utilise une très petite valeur de h (dans ce cas, \(10^{-8}\)) pour simuler un intervalle infinitésimal.
  • Elle calcule ensuite la différence entre f(x + h) et f(x), puis divise cette différence par h. Cela donne une approximation de la pente de la fonction f au point x, c'est-à-dire sa dérivée en ce point.